Hasta ahora, cuando el discriminante salía negativo se escribía «no tiene solución» y se acababa el ejercicio. Con los complejos sí la tiene, y eso cierra un hueco que llevaba abierto desde 3.º de la ESO: toda ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n soluciones.
Segundo grado con discriminante negativo
La fórmula es la de siempre. La única diferencia es que ahora √−1 = i:
Resolver x2 − 4x + 13 = 0
- Discriminante: Δ = 16 − 52 = −36. Negativo: en ℝ no hay solución.
- √−36 = √36 · √−1 = 6i.
- x = (4 ± 6i) : 2 = 2 ± 3i.
- Las dos soluciones son 2 + 3i y 2 − 3i: conjugadas.
La regla de las soluciones conjugadas
Si un polinomio tiene coeficientes reales y una raíz compleja, su conjugada también es raíz. Por eso salen siempre en pareja, y por eso una ecuación de grado 3 con coeficientes reales tiene siempre al menos una raíz real: las complejas van de dos en dos, y tres es impar.
Reconstruir la ecuación desde las raíces
Si las raíces son p y q, la ecuación es x2 − (p+q)x + pq = 0. Con 2 + 3i y 2 − 3i: la suma es 4 y el producto 4 + 9 = 13, así que sale x2 − 4x + 13 = 0.
√−36 no es −6. Un signo menos dentro de la raíz sale como i, no como signo del resultado.
√−36 = −6√−36 = √36·√−1 = 6iEl menos de dentro se convierte en i; el de fuera, si lo hay, es otro asunto.