Un complejo es un punto del plano: a + bi es el punto (a, b). Y un punto del plano se puede dar de dos formas: con sus coordenadas, o diciendo a qué distancia está del origen y en qué dirección. La segunda es la forma polar, y es la que convierte multiplicar en algo trivial.
Las dos coordenadas nuevas
| Qué es | Cómo se calcula | |
|---|---|---|
| Módulo r o |z| | La distancia al origen | r = √a2 + b2 |
| Argumento α | El ángulo con el eje real positivo | tg α = b : a |
Se escribe rα°, y se vuelve a binómica con a = r·cos α, b = r·sen α.
Pasar 3 + 4i a forma polar
- Módulo: r = √3² + 4² = √25 = 5.
- Argumento: tg α = 4 : 3 = 1,333…, así que α = 53,13°.
- El punto (3, 4) está en el primer cuadrante, así que ese ángulo vale tal cual.
- Resultado: 553,13°.
El cuadrante, que es donde está la trampa
La calculadora devuelve siempre un ángulo entre −90° y 90°. Hay que mirar el signo de a y de b para saber en qué cuadrante está y corregir:
| Cuadrante | Signos | Corrección |
|---|---|---|
| 1.º | +, + | el que da la calculadora |
| 2.º | −, + | sumar 180° |
| 3.º | −, − | sumar 180° |
| 4.º | +, − | sumar 360° |
Dónde se lía todo el mundo
Dos complejos distintos pueden tener la misma tangente. −3 − 4i y 3 + 4i dan los dos tg α = 1,333, y no son el mismo número ni están en el mismo sitio.
−3 − 4i tiene argumento 53,13°−3 − 4i está en el tercer cuadrante: 53,13° + 180° = 233,13°Dibuja siempre el punto antes de dar el argumento. Con el dibujo delante no hay error posible.
En una frase: el módulo es la distancia al origen y el argumento el ángulo, y el cuadrante lo decide el signo de las dos partes, no la calculadora.