Dividir complejos es el mismo truco que racionalizar un denominador con raíces, que ya se hizo en la unidad 1: multiplicar arriba y abajo por algo que limpie el de abajo. Aquí ese algo es el conjugado.
El conjugado
El conjugado de z = a + bi se escribe z y es a − bi: se cambia el signo de la parte imaginaria, y solo ese.
Lo que lo hace útil:
z · z = a2 + b2
Siempre real y positivo. Por eso sirve para quitar la i del denominador.
Calcular (5 + i) : (2 − 3i)
- Multiplico arriba y abajo por el conjugado del denominador, 2 + 3i.
- Abajo: (2 − 3i)(2 + 3i) = 4 + 9 = 13.
- Arriba: (5 + i)(2 + 3i) = 10 + 15i + 2i + 3i2 = 10 + 17i − 3 = 7 + 17i.
- Resultado: (7 + 17i) : 13 = 7/13 + (17/13)i.
Dos propiedades que ahorran cuentas
- z + z = 2·Re(z) — la suma de un complejo y su conjugado es real.
- z − z = 2·Im(z)i — la resta es imaginaria pura.
Dónde se lía todo el mundo
El conjugado cambia el signo de la parte imaginaria, no el de la real. Es el mismo error que con el conjugado de los radicales.
El conjugado de −3 + 4i es 3 − 4iEl conjugado de −3 + 4i es −3 − 4iLa parte real se queda como está: se refleja respecto del eje horizontal, no respecto del origen.
En una frase: para dividir se multiplica arriba y abajo por el conjugado del denominador, porque z·z siempre da un número real.