Operar con complejos en forma binómica es exactamente operar con polinomios en i, con una sola regla añadida: cada vez que aparezca i2, se sustituye por −1. No hay ninguna técnica nueva que aprender.
Sumar y restar: cada parte por su lado
(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i
Las partes reales con las reales y las imaginarias con las imaginarias, como los términos semejantes de un polinomio.
Multiplicar: propiedad distributiva y luego i2 = −1
Calcular (3 + 2i)(4 − 5i)
- Distribuyo los cuatro productos: 3·4 + 3·(−5i) + 2i·4 + 2i·(−5i).
- = 12 − 15i + 8i − 10i2
- Sustituyo i2 = −1: −10i2 = −10·(−1) = +10.
- Agrupo: (12 + 10) + (−15 + 8)i = 22 − 7i.
Un caso que conviene tener visto
(a + bi)(a − bi) = a2 + b2. Es suma por diferencia, y el resultado siempre es real y positivo. Esto es lo que hará funcionar la división de la lección siguiente.
El signo del término con i2 cambia al sustituir, y ahí se pierden la mitad de los exámenes. Un menos por un menos delante de i2 acaba siendo un menos, porque i2 ya es negativo.
2i · (−5i) = −10i2 = −102i · (−5i) = −10i2 = −10·(−1) = +10Regla práctica: al sustituir i2, ese sumando cambia de signo.