Cada vez que las matemáticas se han quedado sin solución para una ecuación, han inventado números nuevos. Sin los negativos no se puede resolver x + 5 = 2; sin las fracciones, 2x = 1; sin los irracionales, x2 = 2. Los complejos son el último paso de esa escalera, y aparecen por x2 + 1 = 0.
La ecuación que no tiene solución
x2 + 1 = 0 lleva a x2 = −1. Ningún número real elevado al cuadrado da negativo: los positivos dan positivo y los negativos también. Así que en ℝ no hay solución, y no por falta de buscar.
Se define entonces la unidad imaginaria:
i2 = −1 ⟺ i = √−1
Cómo es un número complejo
z = a + bi
- a es la parte real. Se escribe Re(z).
- b es la parte imaginaria. Se escribe Im(z), y es un número real: en 3 − 4i la parte imaginaria es −4, no −4i.
| Número | Re | Im | Cómo se llama |
|---|---|---|---|
| 3 + 2i | 3 | 2 | complejo |
| 7 | 7 | 0 | real (los reales son complejos con Im = 0) |
| 5i | 0 | 5 | imaginario puro |
Calcular las potencias de i
- i1 = i
- i2 = −1, por definición.
- i3 = i2 · i = −1 · i = −i
- i4 = i2 · i2 = (−1)(−1) = 1
- Y vuelve a empezar: se repiten de cuatro en cuatro. Para i27, divido 27 entre 4 y me quedo con el resto: 27 = 4·6 + 3, así que i27 = i3 = −i.
La parte imaginaria es el número que multiplica a i, no el número con la i pegada. Es una definición, pero se equivoca todo el mundo en el primer examen.
En z = 3 − 4i, Im(z) = −4iEn z = 3 − 4i, Im(z) = −4Re e Im son números reales: son las dos coordenadas del complejo.