Las propiedades no son una lista que memorizar: son las reglas de las potencias vistas del revés. Sirven para convertir multiplicaciones en sumas, que es lo que permitió calcular a mano antes de las calculadoras y lo que hoy permite resolver ecuaciones donde la incógnita está en el exponente.
Las tres, y de dónde salen
| Propiedad | De qué regla de potencias sale |
|---|---|
| loga A·B = loga A + loga B | Al multiplicar potencias, los exponentes se suman |
| loga A:B = loga A − loga B | Al dividir potencias, los exponentes se restan |
| loga An = n · loga A | Al elevar una potencia a otra, los exponentes se multiplican |
Y el cambio de base, para la calculadora, que solo trae log y ln:
loga N = log N : log a
Desarrollar log (a3 · b) : c
- La división de fuera se convierte en resta: log a3·b − log c.
- El producto se convierte en suma: log a3 + log b − log c.
- El exponente baja a multiplicar: 3log a + log b − log c.
Dónde se lía todo el mundo
El logaritmo de una suma no se puede desarrollar. No existe ninguna propiedad para log A + B, y confundirla con la del producto es el error más caro de esta unidad.
log A + B = log A + log Blog A · B = log A + log BLa suma de logaritmos es el logaritmo del producto, no el de la suma. Compruébalo: log 10 + log 10 = 2, pero log 20 = 1,3.
En una frase: producto se convierte en suma, cociente en resta y exponente en multiplicación, pero una suma dentro del logaritmo no se puede separar.