«¿Cuántos años tardará una población en duplicarse creciendo al 3 % anual?» La incógnita está en el exponente, y para bajarla de ahí solo hay una herramienta: el logaritmo. Es el uso para el que se inventó.
Exponenciales: dos caminos
- Igualar bases. Si los dos lados se pueden escribir con la misma base, los exponentes tienen que ser iguales. 2x = 32 → 2x = 25 → x = 5.
- Tomar logaritmos. Cuando no se puede igualar: 3x = 20 → x · log 3 = log 20 → x = log 20 : log 3 ≈ 2,73.
Logarítmicas: quitar el logaritmo
Se junta todo en un solo logaritmo con las propiedades y después se aplica la definición.
Resolver log x + log x − 3 = 1
- Junto los dos con la propiedad del producto: log x(x − 3) = 1.
- Aplico la definición: x(x − 3) = 101 = 10.
- Queda x2 − 3x − 10 = 0, con soluciones x = 5 y x = −2.
- Compruebo: x = −2 no vale, porque log -2 no existe. La solución es x = 5.
Dónde se lía todo el mundo
En las ecuaciones logarítmicas hay que comprobar siempre las soluciones. Al quitar el logaritmo aparecen soluciones que la ecuación original no admite, y darlas por buenas es el fallo que más nota cuesta en esta unidad.
«x2 − 3x − 10 = 0 da 5 y −2, así que hay dos soluciones»−2 se descarta: dentro del logaritmo solo pueden ir números positivosLa comprobación no es opcional: forma parte de resolver la ecuación.
En una frase: para bajar la incógnita del exponente se toman logaritmos, y toda solución de una ecuación logarítmica hay que comprobarla antes de darla por buena.