Cuando una pieza «vale si mide 20 ± 0,1 mm», eso es un intervalo. Cuando un resultado se da con un margen de error, es un entorno. Y las tres formas de escribirlo —intervalo, entorno y valor absoluto— aparecen mezcladas en todos los enunciados del curso, así que hay que saber pasar de una a otra sin pensar.
Las tres formas de decir lo mismo
| Entorno | Intervalo | Con valor absoluto |
|---|---|---|
| E(3, 2) | (1, 5) | |x − 3| < 2 |
| E(0, 1) | (−1, 1) | |x| < 1 |
| E(−4; 0,5) | (−4,5; −3,5) | |x + 4| < 0,5 |
El entorno de centro a y radio r son los números que están a menos de r de a:
E(a, r) = (a − r, a + r) = { x : |x − a| < r }
Del intervalo al entorno
- Centro: el punto medio de los extremos.
- Radio: la mitad de lo que mide el intervalo.
Con (2, 8): centro (2 + 8) : 2 = 5, radio (8 − 2) : 2 = 3. Así que (2, 8) = E(5, 3).
Resolver |2x − 6| ≤ 4
- El valor absoluto es una distancia, así que la condición dice: 2x − 6 está a 4 o menos del 0.
- Eso es una doble desigualdad: −4 ≤ 2x − 6 ≤ 4.
- Sumo 6 en los tres sitios: 2 ≤ 2x ≤ 10.
- Divido entre 2: 1 ≤ x ≤ 5, o sea el intervalo [1, 5].
Dónde se lía todo el mundo
Con el signo «mayor que» la solución NO es un intervalo: son dos trozos separados, porque estar «lejos» del centro se puede estar por los dos lados.
|x − 3| > 2 → (1, 5)|x − 3| > 2 → x < 1 o x > 5, o sea (−∞, 1) ∪ (5, +∞)Regla: con < queda lo de dentro (un intervalo); con > queda lo de fuera (dos trozos).
En una frase: |x − a| es la distancia de x a a, y por eso «menor que» da el intervalo de dentro y «mayor que» los dos trozos de fuera.