Antes de operar con algo conviene saber con qué se está operando. La diferencia entre ℚ y ℝ no es una etiqueta de examen: es la razón por la que √2 no se puede escribir con una fracción, y por la que la calculadora te da 1,4142135… y nunca termina.
Los conjuntos, de dentro afuera
Cada uno contiene al anterior:
| Conjunto | Qué son | Ejemplos |
|---|---|---|
| ℕ naturales | Para contar | 0, 1, 2, 17 |
| ℤ enteros | Con los negativos | −5, 0, 12 |
| ℚ racionales | Los que se pueden escribir como fracción de enteros | 3/4, −2, 0,25, 1,333… |
| 𝕀 irracionales | Los que no se pueden | √2, π, e, 0,1010010001… |
| ℝ reales | Racionales e irracionales juntos | todos los de arriba |
Cómo se distingue un racional de un irracional
Por su expresión decimal, y no hay más casos:
- Decimal exacto (0,75) → racional.
- Decimal periódico (1,333… o 0,272727…) → racional.
- Decimal infinito no periódico (1,4142135…) → irracional.
¿Es 0,4222… racional? Y si lo es, ¿qué fracción?
- Es periódico (se repite el 2), así que sí es racional. Llamo N = 0,4222…
- Multiplico por 10 para dejar el periodo justo detrás de la coma: 10N = 4,222…
- Multiplico por 100: 100N = 42,22…
- Resto las dos: 100N − 10N = 42,22… − 4,22… = 38, o sea 90N = 38.
- N = 38/90 = 19/45. Y 19 : 45 en la calculadora devuelve 0,4222…
Que un decimal tenga muchas cifras no lo hace irracional. La calculadora enseña diez o doce cifras y corta; eso no dice nada de si sigue o no.
1/7 = 0,142857142857… «tiene infinitas cifras, es irracional»1/7 es una fracción de enteros: es racional, y su decimal es periódico de periodo 142857La pregunta no es «¿cuántas cifras tiene?», es «¿se repite un bloque?».
La recta real
A cada número real le corresponde un punto de la recta, y a cada punto un número. No sobra ni falta ninguno: ese es el sentido de «la recta real está completa», y es la propiedad que ℚ no tiene —en ℚ hay un agujero justo donde debería estar √2—.