Casi ninguna probabilidad real es «a secas»: siempre se sabe algo. La probabilidad de tener una enfermedad cambia si el test ha dado positivo, y la de aprobar cambia si se sabe cuánto se ha estudiado. Condicionar es incorporar lo que ya se sabe.
La fórmula, y lo que significa
P(A | B) = P(A ∩ B) : P(B)
Leído como se debe: me quedo solo con los casos en que ocurre B —ese es mi nuevo universo— y dentro de ellos miro cuántos cumplen también A. Por eso abajo va P(B): es el tamaño del universo reducido.
Sucesos independientes
A y B son independientes si saber uno no cambia el otro:
P(A | B) = P(A), y entonces P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
En una clase, 0,6 aprueban matemáticas, 0,5 aprueban física y 0,3 aprueban las dos. ¿P(aprobar mates | aprobó física)?
- P(A ∩ B) = 0,3 y P(B) = 0,5.
- P(A | B) = 0,3 : 0,5 = 0,6.
- Coincide con P(A) = 0,6: aprobar física no cambia la probabilidad de aprobar mates. Son independientes.
Probabilidad total
Si un suceso puede llegar por varios caminos incompatibles, se suman todos los caminos:
P(A) = P(B)·P(A|B) + P(B′)·P(A|B′)
Dar la vuelta a la condicionada. P(A|B) y P(B|A) son cosas distintas, y confundirlas es lo que hace que se malinterpreten los tests médicos.
P(enfermo | positivo) = P(positivo | enfermo)Son distintas: la segunda es la fiabilidad del test, la primera es lo que le importa al pacienteCon enfermedades raras la diferencia entre las dos es enorme.