En la práctica casi ninguna función es simple: son composiciones. (2x + 1)5 es «elevar a la quinta» aplicado a «2x + 1». La regla de la cadena es la que permite derivar todo eso, y sin ella la tabla apenas sirve.
La regla
[f(g(x))]′ = f′(g(x)) · g′(x)
En palabras, y así se recuerda: se deriva la de fuera dejando la de dentro quieta, y se multiplica por la derivada de la de dentro.
Los casos que más salen
| Función | Derivada |
|---|---|
| [u]n | n[u]n−1 · u′ |
| eu | eu · u′ |
| ln u | u′ : u |
| sen u | cos u · u′ |
Derivar (2x + 1)5
- La de fuera es «elevar a la quinta»; la de dentro, 2x + 1.
- Derivo la de fuera dejando dentro lo que hay: 5(2x + 1)4.
- Multiplico por la derivada de dentro, que es 2.
- Resultado: 10(2x + 1)4.
Cómo comprobarlo
Con (2x + 1)2: desarrollando es 4x2 + 4x + 1, que deriva a 8x + 4. Con la cadena: 2(2x + 1)·2 = 8x + 4 ✓. Cuando haya dudas, se desarrolla y se compara.
Dónde se lía todo el mundo
Olvidar multiplicar por la derivada de dentro. Es el fallo número uno de toda la unidad, y solo se nota cuando la de dentro no es x.
[(2x + 1)5]′ = 5(2x + 1)4[(2x + 1)5]′ = 5(2x + 1)4 · 2 = 10(2x + 1)4Si dentro solo hay x, su derivada es 1 y no se nota. En cuanto hay un coeficiente, sí.
En una frase: se deriva la de fuera dejando la de dentro quieta, y se multiplica por la derivada de la de dentro.