Con la derivada se contestan las dos preguntas que más se hacen de una función: por dónde sube y por dónde baja, y dónde alcanza su valor máximo o mínimo. Optimizar —el envase que gasta menos material, el precio que da más beneficio— es exactamente eso.
La recta tangente
y = f(a) + f′(a)·(x − a)
Pasa por el punto (a, f(a)) y tiene por pendiente f′(a). Hacen falta los dos datos: la altura y la pendiente.
Crecimiento: lo dice el signo de la derivada
| Si f′(x)… | La función… |
|---|---|
| > 0 | crece |
| < 0 | decrece |
| = 0 | tiene un punto crítico: candidato a máximo o mínimo |
Máximos y mínimos, en tres pasos
- Se resuelve f′(x) = 0: salen los puntos críticos.
- Se estudia el signo de la derivada a cada lado.
- Si pasa de + a −, es máximo; de − a +, mínimo.
Extremos de x3 − 6x2 + 9x
- f′(x) = 3x2 − 12x + 9.
- Igualo a cero: 3x2 − 12x + 9 = 0 → x2 − 4x + 3 = 0 → x = 1 y x = 3.
- Signo antes de 1 (por ejemplo en 0): 9 > 0, crece.
- Entre 1 y 3 (en 2): 12 − 24 + 9 = −3 < 0, decrece.
- Después de 3 (en 4): 48 − 48 + 9 = 9 > 0, crece.
- De + a − en x = 1: máximo. De − a + en x = 3: mínimo.
Dónde se lía todo el mundo
Que la derivada valga cero no garantiza que haya máximo o mínimo. En x3 la derivada se anula en 0 y la función sigue subiendo: es un punto de inflexión.
f′(x) = 0 en x = 0 → hay un extremof′(x) = 0 en x = 0 → hay un candidato; hay que mirar el signo a los ladosSolo hay extremo si la derivada cambia de signo.
En una frase: la derivada positiva significa que crece, negativa que decrece, y en los puntos donde se anula hay extremo solo si cambia de signo.