«¿Hacia dónde tiende esto a la larga?» es la pregunta que se hace de un modelo de población, de un coste medio o de la concentración de un fármaco. Las asíntotas son la respuesta dibujada: las rectas a las que la curva se acerca sin llegar nunca.
Cocientes de polinomios en el infinito
Solo manda el grado. Los demás términos se vuelven despreciables:
| Comparación de grados | Límite en ∞ |
|---|---|
| arriba menor que abajo | 0 |
| arriba igual que abajo | el cociente de los coeficientes principales |
| arriba mayor que abajo | ±∞ |
Calcular límx→∞ (3x2 + 5x) : (2x2 − 1)
- Los dos son de grado 2: igual grado.
- El límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado: 3 : 2 = 1,5.
- Los términos 5x y −1 no influyen: al crecer x, los cuadrados los aplastan.
Las tres asíntotas
| Tipo | Cuándo | Es la recta |
|---|---|---|
| Vertical | límx→a f(x) = ±∞ | x = a |
| Horizontal | límx→∞ f(x) = L | y = L |
| Oblicua | grado de arriba = grado de abajo + 1 | y = mx + n |
Las verticales se buscan en los valores que anulan el denominador; la horizontal y la oblicua no pueden coexistir: o hay una o hay la otra.
Dónde se lía todo el mundo
Dar por asíntota vertical todo valor que anule el denominador. Si también se anula el numerador, puede que ahí no haya asíntota sino un agujero.
(x2 − 4):(x − 2) tiene asíntota vertical en x = 2Se simplifica a x + 2: no hay asíntota, solo un punto que faltaAntes de declarar una asíntota vertical, simplifica la fracción.
En una frase: en el infinito solo mandan los grados, y las asíntotas son las rectas a las que la curva se acerca sin tocarlas.