Hay preguntas que no se pueden contestar sustituyendo. ¿Cuál es la velocidad exacta en un instante, si la velocidad es espacio partido por tiempo y en un instante el tiempo transcurrido es cero? El límite es la herramienta que responde a eso, y con ella se construye toda la física.
La idea
límx→a f(x) = L
significa: cuanto más se acerca x a a, más se acerca f(x) a L. Y aquí está la clave que hay que entender el primer día:
Límites laterales
Uno se puede acercar por la izquierda (x → a−) o por la derecha (x → a+). El límite existe solo si los dos coinciden:
límx→a f(x) existe ⟺ límx→a− f(x) = límx→a+ f(x)
Calcular límx→2 (x2 − 4) : (x − 2)
- Sustituyo: (4 − 4) : (2 − 2) = 0/0. Indeterminado: así escrito no se ve.
- Factorizo arriba: x2 − 4 = (x − 2)(x + 2).
- Simplifico el factor x − 2, que puedo porque x se acerca a 2 pero no vale 2.
- Queda límx→2 (x + 2) = 4.
- La función no existe en x = 2, y aun así su límite ahí vale 4.
Confundir el límite con el valor de la función. Son dos preguntas distintas y muchas veces tienen respuestas distintas.
Como f(2) no existe, el límite en 2 tampocof(2) no existe, pero el límite vale 4El límite pregunta por los alrededores, no por el punto.