Un triángulo rectángulo no puede tener un ángulo de 120°, y sin embargo esos ángulos existen. La circunferencia de radio 1 es el truco que amplía la trigonometría a cualquier ángulo sin cambiar nada de lo anterior.
Salir del triángulo
En un triángulo rectángulo los ángulos agudos son los únicos posibles. Para hablar del seno de 150° hace falta otra definición, que coincida con la anterior en los ángulos agudos y valga para todos los demás.
La circunferencia de radio 1
Se dibuja una circunferencia de radio 1 centrada en el origen. Un ángulo se mide desde el semieje positivo de las x, girando en sentido contrario a las agujas del reloj. El radio termina en un punto P, y entonces:
El punto P tiene por coordenadas (cos α, sen α). Las dos proyecciones dibujadas son exactamente el coseno y el seno.
P = (cos α, sen α)
Por qué encaja con lo anterior
Para un ángulo agudo, el radio, su proyección horizontal y la vertical forman un triángulo rectángulo de hipotenusa 1. Y con hipotenusa 1:
sen α = op1 = op cos α = ady1 = ady
Los cocientes se convierten en longitudes, que son justo las coordenadas del punto.
Cuatro ángulos de referencia
| Ángulo | Punto | sen | cos |
|---|---|---|---|
| 0° | (1, 0) | 0 | 1 |
| 90° | (0, 1) | 1 | 0 |
| 180° | (−1, 0) | 0 | −1 |
| 270° | (0, −1) | −1 | 0 |
Se leen directamente del dibujo, sin calcular nada.
Consecuencia inmediata
Como P está en la circunferencia de radio 1, sus coordenadas cumplen x2 + y2 = 1, es decir: cos2α + sen2α = 1. La relación fundamental es simplemente la ecuación de la circunferencia.
Cambiar de sitio el seno y el coseno sobre la circunferencia. El coseno es la coordenada horizontal (la x) y el seno, la vertical (la y).
El seno es la coordenada x del puntoEl seno es la y; el coseno es la xTruco: seno suena a subir. Y encaja con lo de antes: en el triángulo, el seno usaba el cateto vertical.