Sabes elevar (2³ = 8) y sabes sacar la raíz (∛8 = 2). Faltaba la tercera pregunta: ¿a qué hay que elevar 2 para que salga 8? Eso es un logaritmo, y por eso todo se resuelve traduciéndolo a una potencia.
La pregunta que faltaba
Con 23 = 8 se pueden hacer tres preguntas distintas, y cada una tiene su operación:
| Pregunta | Operación | Se escribe |
|---|---|---|
| ¿Cuánto vale 2 elevado a 3? | potencia | 23 = 8 |
| ¿Qué número elevado a 3 da 8? | raíz | 3√8 = 2 |
| ¿A qué hay que elevar 2 para obtener 8? | logaritmo | log2 8 = 3 |
La definición
loga b = c ⇔ ac = b
La base a tiene que ser positiva y distinta de 1, y el número b tiene que ser positivo.
Ejemplos que hay que saber de cabeza
| Logaritmo | Porque | Vale |
|---|---|---|
| log2 8 | 23 = 8 | 3 |
| log3 81 | 34 = 81 | 4 |
| log10 1000 | 103 = 1.000 | 3 |
| log5 1 | 50 = 1 | 0 |
| log7 7 | 71 = 7 | 1 |
| log2 0.5 | 2−1 = 0,5 | −1 |
Dos reglas que salen solas
- loga 1 = 0 en cualquier base, porque todo elevado a 0 da 1.
- loga a = 1, porque todo elevado a 1 se queda igual.
Lo que no existe
No hay logaritmo de números negativos ni del cero: no hay ningún exponente que haga que 2c valga −8, porque una potencia de base positiva siempre es positiva. Por eso el número del logaritmo tiene que ser mayor que cero.
Leer el logaritmo como una multiplicación o una división. El logaritmo es un exponente: log₂ 8 pregunta a qué se eleva el 2.
log₂ 8 = 4, porque 2 · 4 = 8log₂ 8 = 3, porque 2³ = 8Ante la duda, traduce siempre: logₐ b = c significa exactamente aᶜ = b.