La función exponencial es la que crece multiplicando. Con ella se describen el interés compuesto, los contagios y la carga de una batería, y su gráfica tiene una propiedad que sorprende: nunca llega a tocar el eje.
La incógnita, en el exponente
y = ax (con a > 0 y a ≠ 1)
En x2 la base cambia y el exponente es fijo. En 2x ocurre justo al revés, y eso lo cambia todo.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| x2 | 0 | 1 | 4 | 9 | 100 |
| 2x | 1 | 2 | 4 | 8 | 1.024 |
Al principio la potencia va por delante, pero la exponencial siempre acaba ganando: en x = 20, x2 vale 400 y 2x más de un millón. Esa es la diferencia entre crecer sumando y crecer multiplicando.
La gráfica
y = 2x: pasa por (0, 1), crece cada vez más deprisa y nunca llega a tocar el eje horizontal.
- Pasa siempre por (0, 1), porque cualquier número elevado a 0 vale 1.
- Su dominio son todos los reales.
- Su recorrido es (0, +∞): nunca vale 0 ni negativo.
- El eje horizontal es una asíntota.
Bases mayores y menores que 1
| Base | Comportamiento |
|---|---|
| a > 1 | crece (crecimiento exponencial) |
| 0 < a < 1 | decrece (decrecimiento exponencial) |
12x es la gráfica de 2x reflejada: cada paso la reduce a la mitad en vez de duplicarla.
Dónde se lía todo el mundo
Buscarle un corte con el eje horizontal. Una exponencial se acerca al eje todo lo que quieras, pero nunca lo toca: no hay ningún exponente que haga 2ˣ = 0.
y = 2ˣ corta al eje X en algún punto muy a la izquierdaSe acerca sin tocarlo: el eje X es su asíntota horizontalY siempre pasa por (0, 1), porque cualquier base elevada a 0 vale 1.
En una frasey = aˣ pasa siempre por (0, 1), es siempre positiva y tiene el eje X como asíntota.