El vértice contesta a las preguntas de optimización: qué medidas dan el área máxima, cuándo alcanza un balón su altura mayor, qué precio da el beneficio más alto. Es la aplicación estrella de la unidad.
El vértice resuelve los problemas de optimización
Cuando una situación se modela con una parábola, el vértice da la respuesta a las preguntas del tipo «¿cuál es el máximo?» o «¿cuándo es mínimo?».
- Se escribe la función cuadrática que describe la situación.
- Se calcula el vértice.
- Se interpreta: la abscisa dice cuándo o con qué valor, y la ordenada cuánto.
El problema clásico del área máxima
Con 40 m de valla se quiere cerrar un huerto rectangular. ¿Qué medidas dan el área mayor?
- Si un lado mide x, el otro mide 20 − x (porque el semiperímetro es 20).
- Área: A = x(20 − x) = −x2 + 20x.
- Vértice: xv = −20 : (−2) = 10, y A = 100.
El área máxima es 100 m² con un cuadrado de 10 × 10. Con el mismo perímetro, el cuadrado siempre gana.
El tiro vertical
Una pelota lanzada hacia arriba sigue una parábola: altura = −5t2 + 20t. El vértice está en t = 2 segundos y da una altura de 20 metros: ese es el punto más alto del recorrido.
Los cortes con el eje horizontal dicen cuándo está en el suelo: t = 0 (el lanzamiento) y t = 4 (la caída).
Beneficios
Si el beneficio de vender x unidades es B = −2x2 + 40x − 50, el vértice (x = 10) dice cuántas unidades hay que vender para ganar lo máximo, y la ordenada, cuánto se gana.
Comprobar que la respuesta tiene sentido
Un lado negativo, un tiempo negativo o vender 3,7 unidades son señales de que hay que ajustar la respuesta al contexto, como en los problemas de la unidad 6.
Contestar con la abscisa del vértice cuando lo que se pregunta es el valor máximo. La x dice dónde; la y dice cuánto.
El beneficio máximo es 15 (que es la x del vértice)El beneficio máximo es f(15) = 450 €, y se consigue con 15 unidadesComprueba también que a < 0 (parábola hacia abajo): si no, el vértice sería un mínimo.