Los poliedros vuelven en 3.º con una herramienta que no falla: la fórmula de Euler. Sirve para comprobar un recuento y para encontrar el dato que falta sin tener el cuerpo delante.
Las tres cosas que tiene un poliedro
Un poliedro es un cuerpo limitado por polígonos planos. Sus elementos son:
| Elemento | Qué es | Símbolo |
|---|---|---|
| Caras | los polígonos que lo limitan | C |
| Vértices | los picos donde se juntan las aristas | V |
| Aristas | los segmentos donde se juntan dos caras | A |
La fórmula de Euler
C + V − A = 2
Se cumple en todos los poliedros convexos, por raros que sean. Es uno de los resultados más sorprendentes de la geometría: no depende del tamaño, ni de la forma, ni de qué polígonos sean las caras.
| Poliedro | C | V | A | C + V − A |
|---|---|---|---|---|
| Cubo | 6 | 8 | 12 | 2 |
| Tetraedro | 4 | 4 | 6 | 2 |
| Octaedro | 8 | 6 | 12 | 2 |
| Prisma pentagonal | 7 | 10 | 15 | 2 |
| Pirámide hexagonal | 7 | 7 | 12 | 2 |
Contar bien caras, vértices y aristas
En un prisma de base de n lados: n + 2 caras, 2n vértices y 3n aristas.
En una pirámide de base de n lados: n + 1 caras, n + 1 vértices y 2n aristas.
Comprobación con la fórmula en el prisma: (n + 2) + 2n − 3n = 2 ✓, sea cual sea n.
Los cinco poliedros regulares
Solo hay cinco poliedros con todas las caras iguales y regulares: tetraedro (4 triángulos), cubo (6 cuadrados), octaedro (8 triángulos), dodecaedro (12 pentágonos) e icosaedro (20 triángulos). No hay más, y eso también se demuestra con la fórmula de Euler.
Contar solo las aristas que se ven en el dibujo. Un prisma hexagonal tiene las de las dos bases y las verticales.
Un prisma hexagonal tiene 12 aristas6 + 6 de las bases y 6 verticales: 18 aristasCompruébalo con Euler: 8 caras + 12 vértices = 18 aristas + 2 ✓