Un sistema es la herramienta natural cuando hay dos datos desconocidos y dos informaciones distintas sobre ellos: entradas de adulto y de niño, monedas de dos valores, dos tipos de café mezclados.
Cuándo conviene un sistema
Cuando el problema tiene dos cantidades desconocidas y da dos informaciones que las relacionan. Se puede resolver con una sola incógnita, pero con dos suele salir mucho más claro.
El método
- Nombrar las dos incógnitas, con palabras: «x = número de adultos, y = número de niños».
- Escribir una ecuación por cada información del enunciado.
- Resolver por el método más cómodo.
- Comprobar en el enunciado y responder con unidades.
Un ejemplo completo
«En un cine entran 100 personas. Los adultos pagan 8 € y los niños 5 €. La recaudación es de 680 €.»
- x = adultos, y = niños.
- Personas: x + y = 100.
- Dinero: 8x + 5y = 680.
Por sustitución, y = 100 − x, y entonces 8x + 5(100 − x) = 680, o sea 3x = 180 y x = 60. Niños: 40.
Comprobación: 60 + 40 = 100 ✓ y 60 · 8 + 40 · 5 = 480 + 200 = 680 ✓
Las dos ecuaciones tienen que decir cosas distintas
Los tipos que más aparecen
| Tipo | Las dos ecuaciones suelen ser |
|---|---|
| Cantidades y precios | número total y dinero total |
| Edades | hoy y dentro de (o hace) unos años |
| Números | suma y diferencia, o suma y relación |
| Geometría | perímetro y relación entre los lados |
| Mezclas | cantidad total y valor total |
La comprobación de sentido
Igual que en la unidad 7: el número de personas es entero y positivo, una edad no es negativa y un precio tampoco. Si sale 37,5 adultos, el planteamiento está mal aunque las cuentas cuadren.
Escribir las dos ecuaciones con la misma magnitud. Una ecuación cuenta unidades y la otra cuenta euros (o kilos, o años): si las dos dicen lo mismo, el sistema no se puede resolver.
«20 entradas por 190 €» → x + y = 20 y x + y = 190x + y = 20 (entradas) y 12x + 8y = 190 (euros)Truco: escribe al lado de cada ecuación de qué habla. Si las dos hablan de lo mismo, falta información.