Las ecuaciones de segundo grado aparecen en cuanto hay un área, un producto de dos cantidades que dependen entre sí o algo que sube y cae. Son la primera ecuación que puede tener dos respuestas correctas.
La forma general
ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0
Una ecuación es de segundo grado cuando la incógnita aparece elevada al cuadrado y no a nada mayor. Los números a, b y c son los coeficientes:
| Coeficiente | Qué acompaña | En 2x2 − 5x + 3 = 0 |
|---|---|---|
| a | al x2 | 2 |
| b | al x | −5 |
| c | término independiente | 3 |
Por qué a no puede ser 0
Si a fuera 0 desaparecería el x2 y quedaría bx + c = 0, que es de primer grado. La condición a ≠ 0 es lo que hace que la ecuación sea de segundo grado.
Completas e incompletas
| Tipo | Forma | Ejemplo |
|---|---|---|
| Completa | ax2 + bx + c = 0 | x2 − 5x + 6 = 0 |
| Incompleta (b = 0) | ax2 + c = 0 | x2 − 9 = 0 |
| Incompleta (c = 0) | ax2 + bx = 0 | x2 − 3x = 0 |
| Incompleta (las dos) | ax2 = 0 | 3x2 = 0 |
Las incompletas se resuelven sin fórmula, y por eso van primero: son más rápidas y se fallan menos.
Cuántas soluciones puede tener
Como mucho dos. Y eso es lo verdaderamente nuevo de esta unidad: hasta ahora una ecuación tenía una solución, y de golpe puede tener dos, una o ninguna.
| Ejemplo | Soluciones |
|---|---|
| x2 − 9 = 0 | 3 y −3 |
| x2 = 0 | solo 0 |
| x2 + 9 = 0 | ninguna |
La última no tiene solución porque ningún número al cuadrado da −9: los cuadrados son siempre positivos o cero, como se vio en la unidad 4.
Comprobar una solución
Igual que en primer grado: se sustituye y se mira si sale 0. Con x2 − 5x + 6 = 0 y x = 2:
22 − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 ✓
Y con x = 3: 9 − 15 + 6 = 0 ✓. Las dos son soluciones, y son las únicas.
Creer que sin b o sin c la fórmula no se puede usar. Se puede siempre: lo que falta vale cero, y lo primero es dejar la ecuación igualada a 0.
3x² = 12 no se puede resolver con la fórmula porque no tiene b ni c3x² − 12 = 0 → a = 3, b = 0, c = −12 (y sale x = ±2)Ordenar primero, identificar después: a, b y c solo significan algo con el 0 al otro lado.