Las cinco propiedades de las potencias, por fin juntas. No son cinco reglas que memorizar: son cinco atajos que evitan multiplicar, y los vas a usar en polinomios, en raíces y en notación científica.
Las cinco reglas, juntas por fin
Han ido apareciendo por partes: con enteros en la unidad 1 y con fracciones en la 2. Aquí están las cinco, y valen para cualquier base.
| Nombre | Regla | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto, misma base | am · an = am+n | 23 · 24 = 27 |
| Cociente, misma base | am ÷ an = am−n | 56 ÷ 52 = 54 |
| Potencia de una potencia | (am)n = am·n | (32)4 = 38 |
| Producto, mismo exponente | an · bn = (a · b)n | 23 · 53 = 103 |
| Cociente, mismo exponente | an ÷ bn = (a ÷ b)n | 64 ÷ 24 = 34 |
Las dos condiciones que hay que mirar antes
El error que más se repite
Al multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes, no se multiplican:
23 · 24 = 27 = 128 (no 212)
Comprobación: 23 = 8 y 24 = 16, y 8 · 16 = 128 = 27. ✓
Los exponentes se multiplican en otro sitio: en la potencia de una potencia.
(23)4 = 212 = 4.096
Por qué son ciertas
No hay que aprendérselas de memoria: salen de contar factores.
23 · 24 = (2·2·2) · (2·2·2·2) = 2·2·2·2·2·2·2 = 27
Tres doses y cuatro doses son siete doses. Y en la potencia de potencia:
(23)4 = 23 · 23 · 23 · 23 = 212
Cuatro grupos de tres doses son doce doses.
Lo que NO se puede hacer
No hay ninguna regla para sumar potencias:
23 + 24 = 8 + 16 = 24 (no 27, que es 128)
Para sumar hay que calcular cada una y después sumar. Las propiedades son de productos y cocientes, nunca de sumas.
Repartir el exponente por encima de una suma. La potencia se reparte en productos y cocientes, nunca en sumas ni restas.
(2 + 3)² = 2² + 3² = 13(2 + 3)² = 5² = 25Con los productos sí vale: (2 · 3)² = 2² · 3² = 36 ✓. Es la diferencia que más puntos cuesta del tema.