En 1.º los negativos servían para contar plantas de garaje y grados bajo cero. En 2.º pasan a ser el suelo de todo lo demás: sin manejarlos con soltura, las ecuaciones y las fracciones con signo de este curso se caen solas.
Los números enteros son los naturales y sus opuestos
Al conjunto de los números enteros se le llama Z (de Zahlen, «números» en alemán). Contiene tres cosas:
- los positivos: 1, 2, 3, 4… que son los naturales de toda la vida;
- el cero, que no es ni positivo ni negativo;
- los negativos: −1, −2, −3, −4…
Z = {… −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 …}
No tiene principio ni final: por grande que sea un entero, siempre hay otro mayor, y por pequeño que sea, siempre hay otro menor.
El opuesto: el mismo número al otro lado del cero
El opuesto de un entero se obtiene cambiándole el signo. Se escribe op(a) o −a.
| Número | Su opuesto |
|---|---|
| 7 | −7 |
| −12 | 12 |
| 0 | 0 |
El valor absoluto: la distancia al cero
De −3 a 5 hay 8 pasos: la distancia entre dos enteros se cuenta cruzando el cero.
El valor absoluto de un entero es lo que mide su separación respecto del 0, sin mirar hacia qué lado está. Se escribe entre dos barras:
|7| = 7 |−7| = 7 |0| = 0
Como es una distancia, nunca es negativo. Un valor absoluto negativo es tan imposible como una distancia de −3 metros.
Dicho corto: el valor absoluto quita el signo, y el opuesto lo cambia. No son lo mismo.
| a | −a (opuesto) | |a| (valor absoluto) |
|---|---|---|
| 9 | −9 | 9 |
| −9 | 9 | 9 |
Ordenar enteros: manda la recta, no el tamaño
En la recta numérica, a la derecha está siempre lo mayor. De ahí salen tres reglas que no fallan:
- Cualquier positivo es mayor que cualquier negativo: 1 > −500.
- El 0 es mayor que todos los negativos y menor que todos los positivos.
- Entre dos negativos, es mayor el de menor valor absoluto: −3 > −8.
La distancia entre dos enteros
Para saber cuánto hay de un entero a otro se restan y se toma el valor absoluto:
d(a, b) = |a − b|
De −4 a 6 hay |−4 − 6| = |−10| = 10 unidades. Y sale lo mismo contando al revés, porque una distancia no tiene dirección.
Calcular la distancia entre dos enteros restando sus cifras. Cuando uno está a cada lado del cero, hay que sumar los dos trozos: el que llega hasta el cero y el que sigue.
La distancia entre −3 y 5 es 5 − 3 = 2|5 − (−3)| = |5 + 3| = 8Dibuja la recta y cuenta: tres pasos hasta el cero y cinco más. Siempre sale la resta con signo.