Un mosaico cubre el plano sin huecos ni solapes. Solo tres polígonos regulares pueden hacerlo solos, y la razón es puro cálculo de ángulos: es la matemática que hay detrás de un panal de abejas.
Cubrir el plano sin huecos
Un mosaico (o teselación) es un recubrimiento del plano con figuras que no dejan huecos ni se solapan. Los azulejos de un baño, un panal de abejas o el suelo de una plaza son mosaicos.
Qué polígonos regulares sirven solos
Para cubrir el plano, los ángulos que se juntan en cada vértice tienen que sumar exactamente 360°. Con un solo tipo de polígono regular:
| Polígono | Ángulo | ¿360° con un número entero? |
|---|---|---|
| Triángulo equilátero | 60° | Sí: 6 · 60 = 360 ✓ |
| Cuadrado | 90° | Sí: 4 · 90 = 360 ✓ |
| Pentágono regular | 108° | No: 3 · 108 = 324 y 4 · 108 = 432 ✗ |
| Hexágono regular | 120° | Sí: 3 · 120 = 360 ✓ |
| Heptágono o más | > 120° | No ✗ |
Por qué las abejas eligen el hexágono
De los tres que sirven, el hexágono es el que menos perímetro necesita para encerrar la misma superficie. Menos perímetro es menos cera. No lo eligieron por gusto.
Los movimientos que generan un mosaico
Un mosaico se construye repitiendo una pieza (el motivo mínimo) mediante movimientos:
- Traslaciones: la pieza se desliza y se repite en filas y columnas.
- Giros: la pieza rota alrededor de ciertos puntos.
- Simetrías: la pieza se refleja.
Combinándolos se pueden generar los diecisiete tipos de mosaico que existen matemáticamente, y los artistas de la Alhambra los usaron todos siglos antes de que se demostrara que solo hay diecisiete.
Los frisos
Un friso o cenefa es un motivo que se repite a lo largo de una franja, en una sola dirección. Se genera con traslaciones, y a veces con simetrías o giros combinados.
Mosaicos con figuras no regulares
Cualquier triángulo y cualquier cuadrilátero teselan el plano, aunque sean irregulares. Con el triángulo se ve fácil: dos copias giradas 180° forman un paralelogramo, y con paralelogramos se cubre el plano sin problema.
Suponer que cualquier polígono regular sirve para embaldosar. Solo valen aquellos cuyo ángulo interior divide exactamente a 360°.
Con pentágonos regulares se puede cubrir el planoSu ángulo interior mide 108°, y 360 ÷ 108 no es exacto: quedan huecosSí funcionan el triángulo (60°), el cuadrado (90°) y el hexágono (120°). Y nada más.