Este es el error más caro de toda la geometría, y también el más útil de entender: si una figura se hace el doble de grande, su área no se duplica. Se multiplica por cuatro.
El error más caro de la geometría
Al ampliar una figura con razón k, las longitudes se multiplican por k. Pero el área no: se multiplica por k². Y el volumen, por k³.
| Magnitud | Se multiplica por… |
|---|---|
| Longitudes (lados, perímetro, diagonal) | k |
| Áreas (superficie) | k2 |
| Volúmenes (capacidad) | k3 |
Por qué
Un cuadrado de lado 2 tiene 4 de área. Uno de lado 4 (k = 2) tiene 16, no 8:
A = l2 → (2l)2 = 4l2
El lado aparece dos veces en la fórmula del área, así que la razón se aplica dos veces. Y en el volumen aparece tres, de ahí el cubo.
Al doblar el lado, en el cuadrado grande caben cuatro de los pequeños: el área se multiplica por 4, no por 2.
Ejemplos que sorprenden
- Una pizza del doble de diámetro tiene cuatro veces más pizza.
- Una maqueta a escala 1 : 10 pesa mil veces menos que el original, no diez.
- Un mapa a la mitad de escala representa la cuarta parte de superficie en el mismo papel.
El camino inverso
Si dan la razón de áreas y se pide la de longitudes, hay que sacar la raíz cuadrada:
áreas en razón 9 → k = √9 = 3 → los lados están en razón 3
Y con volúmenes, la raíz cúbica: si los volúmenes están en razón 8, los lados lo están en razón 2, porque 2³ = 8.
Resumen para no equivocarse
Pregúntate cuántas veces aparece la longitud en la fórmula:
- Perímetro: una vez → k.
- Área: dos → k².
- Volumen: tres → k³.
Aplicar la razón de semejanza también a las áreas y a los volúmenes. Las áreas van con la razón al cuadrado y los volúmenes, al cubo.
Razón 2 → el área es el doble y el volumen el dobleRazón 2 → el área ×4 y el volumen ×8Por eso una pizza de 40 cm no es un poco más grande que una de 30: tiene casi el doble de superficie.