Cuando los datos vienen en porcentajes y no en tabla, el árbol es la herramienta. Resuelve de una vez la probabilidad total y Bayes, que son los dos apartados típicos del examen.
El árbol
- Primer nivel: las causas, que reparten el total.
- Segundo nivel: el suceso, condicionado a cada causa.
- Dentro de una rama se multiplica; entre ramas se suma.
Comprobación rápida: las ramas que salen de un mismo nudo suman 1.
Probabilidad total
P(A) = P(B)·P(A|B) + P(B′)·P(A|B′)
Bayes
P(B|A) = [P(B) · P(A|B)] : P(A)
Arriba, la rama que interesa; abajo, la suma de todas. Se usa cuando ya se sabe el resultado y se pregunta por la causa.
El 60 % estudia. De los que estudian aprueba el 50 %; de los que no, el 25 %. Aprobó alguien: ¿estudió?
- Rama de los que estudian: 0,6 · 0,5 = 0,30.
- Rama de los que no: 0,4 · 0,25 = 0,10.
- Total de aprobados: 0,40.
- Bayes: 0,30 : 0,40 = 0,75.
Por qué un test bueno da falsos positivos
Enfermedad que afecta a 1 de cada 1 000; test que acierta el 99 %. Sobre 100 000 personas:
| Enfermos (100) | Sanos (99 900) | Total | |
|---|---|---|---|
| Test + | 99 | 999 | 1 098 |
| Test − | 1 | 98 901 | 98 902 |
De los 1 098 positivos, solo 99 están enfermos: un 9 %. El test es excelente y aun así la mayoría de los positivos son sanos, porque hay muchísimos más sanos. Por eso no se hacen cribados masivos de enfermedades muy raras.
Dónde se lía todo el mundo
Poner en el denominador de Bayes solo la rama que interesa. Si el resultado sale 1, es justo eso.
P(B|A) = 0,30 : 0,30 = 1P(B|A) = 0,30 : 0,40 = 0,75Arriba una rama, abajo todas.
En una frase: dentro de la rama se multiplica, entre ramas se suma, y Bayes divide la rama que interesa entre esa suma.