Es la pregunta de integrales que más cae, y la que más se falla por un motivo tonto: restar al revés o no partir donde las curvas se cruzan.
La fórmula
A = ∫ab [arriba − abajo] dx
Los límites a y b son los puntos de corte, y salen de igualar las dos funciones.
El procedimiento
- Se igualan las dos funciones y se resuelve: salen los cortes.
- Se decide cuál va arriba probando un punto intermedio.
- Se integra la diferencia, siempre arriba menos abajo.
- Si las curvas se cruzan dentro del intervalo, se parte en cada corte.
Área entre y = x e y = x2
- Cortes: x = x2 → x(1 − x) = 0 → x = 0 y x = 1.
- ¿Cuál va arriba? En x = 0,5: la recta vale 0,5 y la parábola 0,25. Arriba, la recta.
- A = ∫01 (x − x2) dx = [x2/2 − x3/3].
- = 1/2 − 1/3 = 1/6 ≈ 0,167.
Cuando una de las dos es el eje
El área entre una curva y el eje x es el mismo problema con «abajo» = 0. Y ahí es donde hay que acordarse de partir en los cortes con el eje: los tramos por debajo aportan negativo y hay que tomarlos en valor absoluto.
Comprobación de sentido
Un área nunca sale negativa. Si el resultado es negativo, casi seguro se ha restado al revés: se cambia el signo y listo.
Restar en el orden equivocado. Da el área con el signo cambiado, y como un área no puede ser negativa, se ve enseguida.
∫01 (x2 − x) dx = −1/6La recta va arriba: ∫01 (x − x2) dx = 1/6Si te sale negativo, cambia el orden y sigue.