Casi ninguna integral de examen está tal cual en la tabla, pero casi todas son la tabla con algo pequeño dentro. Reconocer ese «algo» es lo que convierte la unidad en mecánica.
La idea
La tabla dice cómo integrar xn, ex o 1:x. Cuando en vez de x hay ax + b, la primitiva es la misma dividida entre a:
| ∫ … dx | Resultado |
|---|---|
| (ax + b)n | (ax+b)n+1 : [a(n+1)] + C |
| eax+b | eax+b : a + C |
| 1 : (ax + b) | ln|ax + b| : a + C |
Calcular ∫ (2x + 1)3 dx
- Sin el 2 sería (2x+1)4:4.
- Pero al derivar eso sale un factor 2 de más.
- Así que divido entre 2: (2x+1)4 : 8 + C.
- Comprobación: derivando, 4·(2x+1)3·2 : 8 = (2x+1)3 ✓.
La comprobación, que aquí es obligatoria
Toda integral se verifica derivando el resultado. En estas, además, es donde se caza el factor olvidado, que es el único error posible.
Cuándo NO vale este atajo
Solo funciona si dentro hay algo de primer grado: ax + b. Con x2 dentro no vale, porque su derivada es 2x y no una constante: ahí hace falta cambio de variable, y solo funciona si ese 2x ya está multiplicando.
Olvidar dividir entre el coeficiente de dentro. Es el único fallo de esta lección, y la comprobación lo detecta siempre.
∫ e3x dx = e3x= e3x : 3 + CDeriva tu resultado: si sale un 3 de más, ya sabes qué falta.