Con la regla de Barrow, un área —que en principio pediría sumar infinitos rectángulos— se calcula con una resta. Y en economía el área bajo una curva marginal es el total acumulado.
La regla de Barrow
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)
Se busca una primitiva, se evalúa arriba, se resta abajo. Aquí no se pone «+ C»: se cancelaría.
Calcular ∫02 2x dx
- Primitiva: x2.
- F(2) = 4 y F(0) = 0.
- Resultado: 4 − 0 = 4.
El aviso que decide la nota
La integral definida da un balance con signo, no un área. Donde la curva va por debajo del eje aporta negativo y esa parte resta. Si la función cambia de signo dentro del intervalo y no se parte la integral, el resultado no es el área.
El procedimiento para un área
- Se buscan los cortes con el eje —o entre las dos curvas—.
- Esos puntos parten el intervalo.
- Se integra en cada tramo por separado.
- Se suman los resultados en valor absoluto.
Área entre dos curvas
A = ∫ab [f − g] dx, con f la de arriba
Los límites salen de resolver f = g, y para saber cuál va encima basta probar un punto intermedio.
Dónde se lía todo el mundo
Integrar de un tirón cuando la curva cruza el eje. El resultado sale menor que el área real, y a veces exactamente cero.
∫-11 x3 dx = 0, luego no hay áreaHay que partir en [−1, 0] y [0, 1] y sumar los valores absolutosAntes de integrar, busca los cortes con el eje.
En una frase: Barrow calcula la integral como una resta, pero para un área hay que partir en los cortes y sumar los valores absolutos.