Integrar es deshacer una derivada. Si la derivada del coste era el coste marginal, la integral del coste marginal devuelve el coste: se recupera la magnitud a partir de su ritmo de cambio.
Qué es una primitiva
F es primitiva de f si F′ = f. Como al derivar las constantes desaparecen, al volver hacia atrás no se sabe cuál había:
∫ f(x) dx = F(x) + C
La tabla
| ∫ … dx | Resultado |
|---|---|
| k | kx + C |
| xn | xn+1 : (n+1) + C |
| 1 : x | ln|x| + C |
| ex | ex + C |
La regla de la potencia —subir uno el exponente y dividir por el nuevo— cubre casi todo. Su excepción es n = −1, donde habría que dividir entre cero: ese caso es el logaritmo.
Calcular ∫ (3x2 + 2x) dx
- Término a término.
- 3x2 → 3·x3/3 = x3.
- 2x → 2·x2/2 = x2.
- Resultado: x3 + x2 + C.
- Comprobación: derivando sale 3x2 + 2x ✓.
La comprobación
Una integral siempre se puede verificar: se deriva el resultado y tiene que salir el integrando. Cuesta veinte segundos y detecta cualquier error.
Olvidar el «+ C» en la integral indefinida. No es un adorno: sin él se está dando una sola primitiva de las infinitas que hay.
∫ 2x dx = x2∫ 2x dx = x2 + CEn la definida, en cambio, el C sobra: se cancela al restar.