Es el problema de examen más repetido de análisis: un envase que gaste el mínimo material, un rectángulo de área máxima con un perímetro dado, un beneficio máximo con una limitación. Y el paso que lo desbloquea siempre es el mismo.
Los seis pasos
- Nombrar las variables, con sus unidades.
- Escribir la función objetivo, que suele salir con dos variables.
- Escribir la condición del enunciado, que relaciona las dos.
- Despejar una en la condición y sustituirla en el objetivo.
- Derivar, igualar a cero y comprobar con la segunda derivada.
- Responder lo que se pregunta, con unidades.
El paso 4 es el que convierte un problema imposible —no se puede derivar respecto de dos variables— en uno normal. Si te has quedado atascado, casi seguro es que no has usado la condición.
Con 40 m de valla, ¿qué rectángulo encierra más área?
- Variables: base x y altura y, en metros.
- Objetivo: A = xy. Tiene dos variables.
- Condición: 2x + 2y = 40, así que y = 20 − x.
- Sustituyo: A(x) = x(20 − x) = 20x − x2.
- A′ = 20 − 2x = 0 → x = 10. Y A″ = −2 < 0: máximo.
- Respuesta: un cuadrado de 10 × 10 m, con 100 m².
Los enunciados que más caen
| Problema | Condición típica |
|---|---|
| rectángulo de área máxima | el perímetro es fijo |
| lata que gaste menos material | el volumen es fijo |
| beneficio máximo | el precio depende de las ventas |
Dónde se lía todo el mundo
Derivar la función objetivo con las dos variables dentro. No se puede: hay que usar la condición para dejar una sola.
A = xy, derivo y me sale y…Primero y = 20 − x, y entonces A(x) = 20x − x2Una variable, una derivada.
En una frase: se escribe el objetivo, se usa la condición para dejar una sola variable, se deriva, se comprueba y se responde con unidades.