Es el resultado más elegante del análisis económico de este curso y explica una decisión real: hasta cuánto conviene crecer. Además cae en examen escrito como «halla la producción que minimiza el coste medio».
El coste medio
Cm(x) = C(x) : x
Reparte todo el coste —fijo y variable— entre las unidades hechas. Al principio es enorme, porque el coste fijo se reparte entre pocas; después baja; y llega un momento en que vuelve a subir, porque producir mucho encarece cada unidad.
Cómo se minimiza
- Se escribe Cm = C(x) : x.
- Se deriva con la regla del cociente.
- Se iguala a cero y se despeja.
- Se comprueba con la segunda derivada, o con el signo a los lados.
C(x) = x2 + 100. Minimizar el coste medio
- Cm(x) = (x2 + 100) : x = x + 100:x.
- Derivo: Cm′ = 1 − 100:x2.
- Igualo a cero: x2 = 100, así que x = 10 unidades.
- Coste medio ahí: 10 + 10 = 20 € por unidad.
El resultado que hay que saberse
La lectura práctica: mientras producir una unidad más salga más barato que la media actual, la media baja. En cuanto salga más caro, la media sube. El mínimo está justo donde se cruzan.
Minimizar el coste total en vez del medio. El coste total es mínimo produciendo cero unidades, que no es ninguna respuesta útil.
Derivo C(x) y lo igualo a ceroDerivo C(x):x, que es lo que se pide«Medio» significa dividido entre x, y eso cambia toda la derivada.