Es el ejercicio largo del curso: el precio que maximiza el ingreso, la producción que maximiza el beneficio, el pedido que minimiza el coste. Siempre se hace igual.
Los seis pasos
- Nombrar las variables con sus unidades.
- Escribir la función objetivo.
- Escribir la condición que relaciona las variables.
- Sustituir para dejar una sola variable.
- Derivar, igualar a cero y comprobar con la segunda derivada.
- Responder lo que se pregunta, con unidades.
Las funciones económicas
| Magnitud | Fórmula |
|---|---|
| Ingreso | I = precio × cantidad |
| Beneficio | B = I − C |
| Coste medio | C : x |
El beneficio máximo no coincide con el ingreso máximo: hay que restar los costes antes de derivar.
B(x) = −x2 + 40x − 100. ¿Producción óptima y beneficio?
- B′(x) = −2x + 40 = 0 → x = 20 unidades.
- B″ = −2 < 0: es máximo.
- B(20) = −400 + 800 − 100 = 300 €.
- Respuesta: produciendo 20 unidades se obtiene el beneficio máximo, de 300 €.
La última línea
Casi siempre se preguntan dos cosas: cuántas unidades y cuánto se gana. Son dos números distintos —20 y 300— y responder solo uno cuesta la mitad de la nota.
Dónde se lía todo el mundo
Confundir dónde se alcanza el óptimo con cuánto vale. Si preguntan el beneficio máximo, la respuesta es 300 €, no 20.
«El beneficio máximo es 20»«Se alcanza con 20 unidades y vale 300 €»Relee la pregunta antes de escribir la última línea.
En una frase: se plantea la función objetivo, se usa la condición para dejar una variable, se deriva, se comprueba con la segunda y se responde con unidades.