Con las dos derivadas se describe una función entera: por dónde sube, dónde tiene su máximo y cómo se curva. Es lo que se pide en el apartado de «estudia y representa», que se puntúa por partes.
Lo que dice cada derivada
| Signo | f′(x) | f″(x) |
|---|---|---|
| positivo | crece | convexa (∪) |
| negativo | decrece | cóncava (∩) |
| cero | punto crítico | posible inflexión |
Conviene añadir el símbolo ∪ o ∩ al escribir la curvatura: los nombres «cóncava» y «convexa» se usan al revés según el libro, y el símbolo no se malinterpreta.
El criterio rápido
Si f′(a) = 0:
| f″(a) | En a hay |
|---|---|
| < 0 | máximo |
| > 0 | mínimo |
| = 0 | no decide: hay que mirar el signo de f′(x) |
El guion de representación
- Dominio y cortes con los ejes.
- Asíntotas.
- Monotonía y extremos, con f′(x).
- Curvatura e inflexión, con f″(x).
- Dibujo.
Clasificar los puntos críticos de x3 − 6x2 + 9x
- f′(x) = 3x2 − 12x + 9, que se anula en x = 1 y x = 3.
- f″(x) = 6x − 12.
- f″(1) = −6 < 0 → máximo.
- f″(3) = 6 > 0 → mínimo.
Dónde se lía todo el mundo
Dar por extremo todo punto donde la derivada se anula. Hace falta que cambie de signo, o que la segunda derivada no sea cero.
f′(x) = 0 → hay máximo o mínimof′(x) = 0 → hay un candidato; falta comprobarloEn x3 la derivada se anula en 0 y no hay extremo.
En una frase: la primera derivada da el crecimiento y la segunda la curvatura, y con ellas se clasifica cada punto crítico.