Saber por dónde sube y por dónde baja una magnitud es lo primero que se pregunta de cualquier modelo: hasta qué mes crecieron las ventas, a partir de cuándo empezó a caer el beneficio.
Lo dice el signo de la derivada
| f′(x) | La función | La gráfica |
|---|---|---|
| > 0 | crece | sube |
| < 0 | decrece | baja |
| = 0 | punto crítico | tangente horizontal |
El procedimiento
- Se calcula f′(x).
- Se resuelve f′(x) = 0: salen los puntos críticos.
- Esos puntos parten la recta real en tramos.
- Se prueba un punto de cada tramo en la derivada y se mira el signo.
- Se escribe el resultado con intervalos.
Probar un punto es más seguro que razonar: siempre funciona, se comprueba solo y no depende de recordar ninguna regla. Y hay que probar en la derivada, no en la función: es un error frecuentísimo.
Estudiar x3 − 6x2 + 9x
- f′(x) = 3x2 − 12x + 9.
- Se anula en x = 1 y x = 3.
- En x = 0: f′(0) = 9 > 0 → crece.
- En x = 2: f′(2) = 12 − 24 + 9 = −3 < 0 → decrece.
- En x = 4: f′(4) = 48 − 48 + 9 = 9 > 0 → crece.
- Crece en (−∞, 1) y (3, ∞); decrece en (1, 3).
Y de ahí salen los extremos
| La derivada pasa de | En ese punto hay |
|---|---|
| + a − | máximo |
| − a + | mínimo |
| no cambia de signo | ni una cosa ni otra |
Dónde se lía todo el mundo
Sustituir el punto de prueba en la función en vez de en la derivada. La función te dice a qué altura está; solo la derivada te dice si sube o baja.
f(2) = 8 − 24 + 18 = 2 > 0, luego crecef′(2) = −3 < 0, luego decreceQue la función sea positiva no tiene nada que ver con que crezca.
En una frase: se resuelve f′(x) = 0, los puntos críticos parten la recta, y en cada tramo se prueba un punto en la derivada para ver el signo.