Es media pregunta de las que caen, y se contesta con dos números. Además es la interpretación geométrica de la derivada: la recta que mejor imita a la curva justo en ese punto.
La fórmula
y = f(a) + f′(a)·(x − a)
| Hace falta | Qué es | Cómo se saca |
|---|---|---|
| f(a) | la altura del punto | sustituyendo en la función |
| f′(a) | la pendiente | derivando y después sustituyendo |
Son dos números distintos y hacen falta los dos. El error más repetido es calcular uno y usarlo para las dos cosas.
Tangente a f(x) = x2 en x = 3
- Altura: f(3) = 9. El punto es (3, 9).
- Derivada: f′(x) = 2x, así que f′(3) = 6.
- Recta: y = 9 + 6(x − 3).
- Desarrollando: y = 6x − 9.
- Comprobación: en x = 3 la recta vale 9 ✓, igual que la curva.
Dos preguntas que se hacen al revés
| Piden | Se resuelve |
|---|---|
| «¿dónde la tangente es horizontal?» | f′(x) = 0 |
| «¿dónde la pendiente vale 6?» | f′(x) = 6 |
En los dos casos se plantea una ecuación con la derivada y se despeja x. Es la misma idea leída del revés: en vez de dar el punto y pedir la pendiente, dan la pendiente y piden el punto.
Dónde se lía todo el mundo
Poner la altura donde va la pendiente. En x2 y x = 3, la altura es 9 y la pendiente 6: si se cambian, la recta ni siquiera pasa por el punto.
y = 6 + 9(x − 3)y = 9 + 6(x − 3)Primero va f(a), y multiplicando al paréntesis va f′(a).
En una frase: la tangente necesita la altura y la pendiente, y la pendiente es siempre la derivada evaluada en el punto.