Las funciones que aparecen en economía casi nunca son simples: son cocientes —el coste medio— o composiciones —un crecimiento con exponente—. Estas dos reglas cubren todo lo que puede salir en el examen.
La regla de la cadena
[f(g(x))]′ = f′(g(x)) · g′(x)
En palabras: se deriva la de fuera dejando la de dentro quieta, y se multiplica por la derivada de la de dentro.
| Función | Derivada |
|---|---|
| [u]n | n[u]n−1 · u′ |
| eu | eu · u′ |
| ln u | u′ : u |
Derivar (2x + 1)5
- La de fuera es «elevar a la quinta»; la de dentro, 2x + 1.
- Derivo la de fuera dejando dentro lo que hay: 5(2x + 1)4.
- Multiplico por la derivada de dentro, que es 2.
- Resultado: 10(2x + 1)4.
La regla del cociente
(f : g)′ = (f′g − fg′) : g2
Arriba va una resta, así que el orden importa: primero la derivada de arriba por la de abajo. Es la regla con la que se deriva el coste medio, que es un cociente por definición.
Dónde aparece cada una
| Situación económica | Regla |
|---|---|
| coste medio C(x) : x | cociente |
| crecimiento e0,05x | cadena |
| demanda (100 − x)2 | cadena |
Dónde se lía todo el mundo
Olvidar multiplicar por la derivada de dentro. Es el fallo número uno, y solo se nota cuando dentro hay algo más que x.
[(2x + 1)5]′ = 5(2x + 1)4= 5(2x + 1)4 · 2 = 10(2x + 1)4Si dentro solo hay x, su derivada es 1 y no se nota. Con un coeficiente, sí.
En una frase: en la cadena se deriva fuera y se multiplica por la derivada de dentro; en el cociente, derivada de arriba por abajo menos arriba por derivada de abajo, todo partido por el denominador al cuadrado.