Una asíntota es una recta a la que la curva se acerca sin llegar. En un modelo económico casi siempre es un techo o un suelo: el coste mínimo por unidad al que se puede aspirar, la cuota de mercado que no se va a superar.
Las tres
| Tipo | Se busca | Es la recta |
|---|---|---|
| Vertical | donde se anula el denominador | x = a |
| Horizontal | límx→∞ f(x) = L | y = L |
| Oblicua | grado de arriba = grado de abajo + 1 | y = mx + n |
Cuidado con las verticales
No todo valor que anula el denominador da asíntota. Si el numerador se anula también, hay que simplificar antes: puede que ahí solo falte un punto.
(x2 − 4) : (x − 2) en x = 2
- El denominador se anula: parece asíntota.
- Pero el numerador también: 4 − 4 = 0.
- Factorizo y simplifico: (x − 2)(x + 2) : (x − 2) = x + 2.
- Es una recta con un agujero en x = 2. No hay asíntota.
La oblicua, paso a paso
m = límx→∞ f(x) : x n = límx→∞ [f(x) − mx]
Y hay un atajo que casi siempre vale: dividir el numerador entre el denominador. El cociente de esa división es la asíntota oblicua, y el resto es lo que se desvanece.
Cómo se lee en un problema
| Asíntota | Lectura |
|---|---|
| horizontal y = 5 | por mucho que se produzca, el coste medio no baja de 5 € |
| vertical x = 0 | producir casi nada dispara el coste por unidad |
Buscar asíntota horizontal y oblicua a la vez. Son excluyentes: si el límite en el infinito es finito hay horizontal, y si es infinito puede haber oblicua.
«Tiene y = 3 y también y = 2x + 1»O una o la otra, nunca las dosCalcula primero el límite en el infinito: eso ya decide cuál toca.