Reconocer de qué tipo es una función permite saber lo que va a hacer antes de calcular nada: si crece sin freno, si tiene un máximo, si se estabiliza. En un examen con el reloj en contra eso ahorra la mitad del trabajo.
El catálogo
| Tipo | Forma | Qué hace | Modela |
|---|---|---|---|
| Lineal | mx + n | sube siempre lo mismo | coste con parte fija |
| Cuadrática | ax2 + bx + c | tiene un vértice | ingresos, beneficios |
| Racional | cociente de polinomios | tiene asíntotas | coste medio |
| Exponencial | C·ax | multiplica por a cada paso | interés compuesto |
| Logarítmica | ln x | crece cada vez más despacio | rendimientos decrecientes |
El dominio, en dos capas
Primero manda la fórmula: denominador ≠ 0, dentro de la raíz par ≥ 0, dentro del logaritmo > 0. Y encima manda el problema:
Si x son unidades producidas, años transcurridos o personas encuestadas, entonces x ≥ 0 aunque la fórmula admita cualquier número. Esta segunda capa es la que se olvida, y es la que cambia la respuesta.
Coste medio C(x) = (5x + 200) : x
- De la fórmula: x ≠ 0, porque el denominador se anula.
- Del problema: x son unidades producidas, así que x > 0.
- Dominio real: x > 0.
- Y tiene sentido: el coste medio de producir cero unidades no existe.
La parábola, que es la que más sale
xv = −b : 2a
| Si a… | Abre | El vértice es |
|---|---|---|
| > 0 | hacia arriba | mínimo |
| < 0 | hacia abajo | máximo |
En problemas de ingresos a suele salir negativo: al subir el precio se vende menos, así que hay un precio óptimo y después los ingresos caen.
Dónde se lía todo el mundo
Dar el dominio de la fórmula y olvidar el del problema. La función de beneficio admite x = −5 perfectamente; el enunciado, no.
Dominio de B(x) = 50x − x2: todos los realesSi x son unidades vendidas: x ≥ 0Primero la fórmula, después qué significan las letras.
En una frase: cada tipo de función tiene un comportamiento previsible, y el dominio lo deciden la fórmula y también lo que representan las variables.