«Clasifica la discontinuidad» es una pregunta que se contesta en tres líneas si se tienen los nombres claros, y que se deja en blanco si no. Y en una tarifa por tramos el tipo dice si el diseño está bien o mal.
Las tres condiciones
f(x) es continua en x = a si se cumplen las tres, en este orden:
- Existe f(a).
- Existe el límite: los dos laterales coinciden.
- Coinciden el límite y el valor.
Y el tipo de discontinuidad lo decide cuál falla:
| Falla | Tipo | Se ve como |
|---|---|---|
| la 1 o la 3, pero hay límite finito | Evitable | un agujero |
| la 2, con laterales finitos distintos | De salto | un escalón |
| la 2, con algún lateral infinito | Asintótica | una asíntota vertical |
Por qué se llama evitable
Clasificar (x2 − 4) : (x − 2) en x = 2
- f(2) no existe: el denominador se anula. Falla la condición 1.
- Pero el límite sí existe: simplificando queda x + 2 → 4.
- Hay límite finito y falla el valor: discontinuidad evitable.
- Se evita definiendo f(2) = 4.
El salto, y por qué importa
El tamaño del salto es la diferencia entre los dos laterales. En una tarifa, ese número es cuánto cambia de golpe el precio al cruzar la frontera, y una tarifa bien diseñada lo tiene a cero.
Clasificar por la pinta de la fórmula en vez de por los límites. Una fórmula «rota» en un punto puede dar perfectamente una discontinuidad evitable, que es la más suave de las tres.
«Se anula el denominador, luego es asintótica»Calculo el límite: si sale finito, es evitableEl tipo lo decide el límite, no el aspecto de la fórmula.