«Discute el sistema según los valores de m» cae todos los años. Y no es un ejercicio de cálculo: es de método. Se hace siempre igual, y quien lo tiene ordenado lo resuelve sin pensar.
El método
- Se calcula el determinante de la matriz de coeficientes, con el parámetro dentro.
- Se iguala a cero: los valores que salen son los casos especiales.
- Para cualquier otro valor, el determinante no es cero: sistema compatible determinado.
- Cada caso especial se estudia aparte, sustituyendo el valor y escalonando.
La respuesta tiene siempre esta forma
«Si m ≠ … el sistema es compatible determinado. Si m = … el sistema es …». Las dos partes. Dar solo los casos especiales es dejar el ejercicio a medias, y es lo que más se hace.
Determinante m2 − 9
- Igualo a cero: m2 = 9.
- m = 3 y m = −3.
- Para cualquier m distinto de 3 y −3: determinante no nulo, compatible determinado.
- Para m = 3 y para m = −3 hay que sustituir y escalonar, uno a uno.
Qué mirar en el caso especial
Se sustituye el valor, se escalona y se lee la última fila:
| Última fila | Conclusión |
|---|---|
| 0 = 0 | compatible indeterminado |
| 0 = k, k ≠ 0 | incompatible |
En el caso indeterminado hay que decir además cuántos parámetros tiene la solución: incógnitas menos rango.
Dónde se lía todo el mundo
Dar por hecho que si el determinante se anula el sistema es incompatible. No es así: puede ser indeterminado, y eso solo se sabe sustituyendo.
«|A| = 0, luego no tiene solución»«|A| = 0, luego hay que estudiar ese caso aparte»Anularse el determinante significa «no es determinado», y ahí caben dos cosas.
En una frase: se anula el determinante para encontrar los casos especiales, se estudian uno a uno, y la respuesta incluye también qué pasa con los demás valores.