Es lo que une las dos primeras unidades: un sistema de ecuaciones y una ecuación matricial son la misma cosa escrita de dos maneras. Y verlo así permite resolverlo con la inversa en una línea.
La forma matricial
Todo sistema se puede escribir así:
A · X = B
| Matriz | Qué lleva dentro |
|---|---|
| A | los coeficientes |
| X | las incógnitas, en columna |
| B | los términos independientes, en columna |
Escribir 2x + y = 5, 3x + 2y = 8
- A =
, con los coeficientes en el mismo orden que en las ecuaciones.2 1 3 2 - X =
y B =x y
.5 8 - Comprobación: al multiplicar A·X sale (2x + y, 3x + 2y), que es justo lo de la izquierda ✓.
Resolverlo con la inversa
X = A−1 · B
Solo funciona si existe la inversa, es decir si |A| ≠ 0. Y eso es exactamente lo mismo que decir que el sistema es compatible determinado: las dos condiciones son la misma vista desde dos sitios.
Ojo al lado: la A está delante de la X, así que la inversa se multiplica por la izquierda en los dos miembros.
Cuándo compensa
| Situación | Qué usar |
|---|---|
| un sistema y ya está | Gauss: es más rápido |
| varios sistemas con la misma A | la inversa: se calcula una vez y sirve para todos |
| el enunciado dice «resuelve matricialmente» | la inversa, sin discusión |
Dónde se lía todo el mundo
Multiplicar por la inversa por el lado que no es. BA−1 no es lo mismo que A−1B, y muchas veces ni siquiera se puede calcular.
X = BA−1X = A−1BLa inversa se pega al lado donde está la A que quieres quitar.
En una frase: todo sistema es AX = B, y si A tiene inversa se resuelve multiplicando por ella por la izquierda.