Cuando una relación entre tablas de datos se escribe con matrices, despejar la que falta es resolver una ecuación matricial. Es la aplicación que justifica calcular inversas.
La inversa
A · A−1 = A−1 · A = I
La inversa de una 2×2
Conviene sabérsela: se intercambian los elementos de la diagonal principal, se cambia el signo de los otros dos y se divide todo entre el determinante.
A−1 = (1 : |A|) ·
| d | −b |
| −c | a |
| a | b |
| c | d |
Despejar
Como el producto de matrices no es conmutativo, importa por qué lado se multiplica, y hay que hacerlo igual en los dos miembros:
| Ecuación | Solución |
|---|---|
| AX = B | X = A−1B |
| XA = B | X = BA−1 |
| AX + C = B | primero se pasa C, después se multiplica |
La inversa se pega al lado donde está la matriz que se quiere eliminar.
Invertir
| 2 | 1 |
| 3 | 2 |
- |A| = 2·2 − 1·3 = 1. Distinto de cero: hay inversa.
- Intercambio la diagonal y cambio el signo de la otra:
2 -1 -3 2 - Divido entre 1, así que queda igual.
- Comprobación: al multiplicar por la original tiene que salir la identidad.
Multiplicar por la inversa solo en un miembro, o hacerlo por lados distintos en cada uno. Una ecuación se mantiene si se hace lo mismo a los dos lados, y con matrices «lo mismo» incluye el lado.
AX = B → X = BA−1AX = B → X = A−1BSi la A está delante, la inversa va delante.