El rango dice cuánta información distinta hay en una tabla de datos. Y en la unidad siguiente decide algo muy concreto: si un sistema tiene solución, si tiene infinitas o si no tiene ninguna. Sin rango no se puede discutir un sistema.
Qué es
El rango es el número de filas que aportan información nueva. Si una fila es múltiplo de otra, o suma de dos, no cuenta: no dice nada que no supiéramos ya.
Se escribe rg(A), y siempre está entre 0 y el menor de las dos dimensiones: una matriz 3×4 no puede tener rango mayor que 3.
Cómo se calcula: Gauss
- Se hacen ceros por debajo de la diagonal, columna a columna.
- Se cuentan las filas que no se han quedado a cero.
- Ese número es el rango.
Las operaciones permitidas son las de siempre: intercambiar filas, multiplicar una por un número distinto de cero, y sumar a una fila un múltiplo de otra. Ninguna cambia el rango.
Rango de
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
- A la segunda fila le resto dos veces la primera.
- (2 − 2, 4 − 4) = (0, 0).
- Queda una sola fila no nula.
- rg = 1. La segunda fila era el doble de la primera: no aportaba nada.
El atajo de los determinantes
| Si la matriz es cuadrada de orden n… | Rango |
|---|---|
| |A| ≠ 0 | n: el máximo |
| |A| = 0 | menor que n |
Cuando el determinante grande se anula, se busca un menor más pequeño que no sea cero: el tamaño del mayor menor no nulo es el rango. Con parámetros dentro, este camino suele ser más corto que Gauss.
Contar las filas de la matriz en vez de las que quedan sin anularse. El rango no es el tamaño: es cuántas filas son de verdad independientes.
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
Filas proporcionales cuentan como una sola.