Con tres métodos delante, la mitad del ejercicio es saber cuál probar. Elegir mal no da un resultado equivocado: da diez minutos perdidos y una integral peor que la de partida.
El orden en que se prueba
- ¿Está en la tabla, tal cual o con un ax + b dentro? → inmediata.
- ¿Aparece una función y su derivada multiplicando? → cambio de variable.
- ¿Es un cociente de polinomios? → racional.
- ¿Es un producto de funciones de tipos distintos? → por partes.
Este orden no es arbitrario: va de lo más rápido a lo más lento. Empezar por partes es el error de método más caro, porque tarda mucho en verse que no llevaba a ningún sitio.
Las señales
| Si ves… | Prueba |
|---|---|
| (ax+b)n, eax, 1:(ax+b) | inmediata ajustada |
| x·ex2, o f(x)·f′(x) | cambio de variable |
| polinomio entre polinomio | racional |
| x·ex, x·sen x, ln x | por partes |
Por partes: ALPES
∫ u dv = uv − ∫ v du
Se elige como u la que venga antes en Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos. La idea de fondo: interesa que u se simplifique al derivar.
∫ ln x dx
- No está en la tabla y no hay producto aparente.
- Truco: se escribe como ln x · 1 y se va por partes.
- u = ln x (la L manda) y dv = dx.
- du = 1:x dx y v = x.
- Queda x·ln x − ∫ 1 dx = x·ln x − x + C.
La señal de que has elegido mal
Si al aplicar el método la integral que queda es peor que la de partida, vuelve atrás. En por partes suele bastar con intercambiar u y dv.
Dónde se lía todo el mundo
Ir directamente a por partes en cuanto se ve un producto. x·ex2 es un producto y sale con cambio de variable en dos líneas; por partes no sale.
∫ x·ex2 dx por partesCambio de variable: ahí está x2 y su derivada 2xAntes de partes, mira si hay una función y su derivada.
En una frase: tabla, cambio de variable, racional y por partes, en ese orden, y si la integral empeora es que el método elegido no era.