Es el tercer método y el que más asusta, y en realidad es el más mecánico de los tres: no hay que elegir nada, solo seguir pasos. Aparece en la EvAU tanto sola como dentro de un área.
Cuándo toca
Cuando lo que hay que integrar es un cociente de polinomios y no es inmediato ni sale con cambio de variable.
Los pasos
- Si el grado de arriba es mayor o igual que el de abajo, se divide primero. Queda un polinomio más una fracción con el grado de arriba menor.
- Se factoriza el denominador.
- Se descompone en fracciones simples, una por cada raíz.
- Se calculan los numeradores dando valores.
- Se integra cada trozo: cada uno da un logaritmo.
El paso 1 se olvida y es el que hace fracasar el resto: sin dividir, la descomposición en fracciones simples no funciona. Regla: si arriba manda o empata, se divide.
∫ 1 : (x2 − 1) dx
- Arriba grado 0, abajo grado 2: no hace falta dividir.
- Factorizo: x2 − 1 = (x − 1)(x + 1).
- Descompongo: 1:(x2−1) = A:(x−1) + B:(x+1).
- Con x = 1: 1 = 2A, así que A = 1/2. Con x = −1: B = −1/2.
- Integro: (1/2)ln|x−1| − (1/2)ln|x+1| + C.
El truco de dar valores
Para hallar A y B no hace falta resolver un sistema: se sustituye x por cada raíz del denominador, y en cada caso se anula todo menos uno de los numeradores. Es mucho más rápido que igualar coeficientes.
Los tres casos del denominador
| Raíces | Descomposición |
|---|---|
| simples y distintas | una fracción por raíz |
| múltiples | una por cada potencia: A:(x−a) + B:(x−a)2 |
| sin raíces reales | fuera del temario de este curso |
Dónde se lía todo el mundo
No dividir cuando el grado de arriba manda. La descomposición en fracciones simples exige que el numerador sea de grado menor; si no, no existe.
∫ x2 : (x − 1) dx, descompongo directamenteDivido primero: x2:(x−1) = x + 1 + 1:(x−1)Y entonces se integra término a término sin problema.
En una frase: si arriba manda se divide, se factoriza el denominador, se descompone en fracciones simples dando valores a las raíces, y cada trozo da un logaritmo.