Casi ninguna integral de examen es inmediata a la primera. Estas dos técnicas cubren la práctica totalidad de las que salen, y saber cuál probar antes es la mitad del trabajo.
El orden en que se prueba
- ¿Es inmediata? Se mira la tabla.
- ¿Hay una función y su derivada multiplicando? → cambio de variable.
- ¿Hay un producto de dos funciones de tipos distintos? → por partes.
Probar por partes lo primero es el error de método más caro: se tarda diez minutos en llegar a donde el cambio de variable llegaba en dos líneas.
Cambio de variable
Se llama t a la parte incómoda, se calcula dt y se sustituye todo:
∫ f(u) · u′ dx = ∫ f(t) dt
La pista es siempre la misma: que aparezca la derivada de lo que se sustituye, aunque sea multiplicada por un número.
Calcular ∫ 2x · ex2 dx
- Veo x2 en el exponente y su derivada, 2x, multiplicando: cambio de variable.
- t = x2, así que dt = 2x dx.
- La integral queda ∫ et dt = et.
- Deshago el cambio: ex2 + C.
Por partes
∫ u dv = uv − ∫ v du
Lo único que hay que decidir es quién es u. La regla ALPES da el orden de preferencia:
| Letra | Tipo |
|---|---|
| A | Arcoseno y demás inversas |
| L | Logarítmicas |
| P | Polinómicas |
| E | Exponenciales |
| S | Seno y coseno |
Se elige como u la que aparezca antes en la lista. La idea de fondo: interesa que u se simplifique al derivar.
Elegir u al revés. En ∫ x·ex dx, si se toma u = ex la integral que queda es peor que la de partida.
u = ex, dv = x dxu = x (la P va antes que la E), dv = ex dxSi al aplicar la fórmula la integral empeora, es que u está mal elegida: vuelve atrás.