Integrar es deshacer una derivada, y con eso se recupera una magnitud a partir de su ritmo de cambio: la posición a partir de la velocidad, el capital a partir de los intereses, el área a partir de la altura. Es la otra mitad del cálculo.
Qué es una primitiva
F es primitiva de f si F′ = f. Y como al derivar las constantes se pierden, al volver hacia atrás no se sabe cuál había:
∫ f(x) dx = F(x) + C
La tabla
| ∫ … dx | Resultado |
|---|---|
| xn | xn+1 : (n+1) + C |
| 1 : x | ln|x| + C |
| ex | ex + C |
| cos x | sen x + C |
| sen x | −cos x + C |
La primera regla —subir uno el exponente y dividir por el nuevo— cubre la mayoría de los ejercicios. Y tiene una excepción: con n = −1 habría que dividir entre cero, y por eso ese caso es el logaritmo.
Calcular ∫ (3x2 + 2x) dx
- Término a término.
- 3x2 → 3·x3/3 = x3.
- 2x → 2·x2/2 = x2.
- Resultado: x3 + x2 + C.
- Comprobación: al derivar sale 3x2 + 2x ✓.
La comprobación que nunca falla
Una integral siempre se puede comprobar: se deriva el resultado y tiene que salir lo de dentro. Cuesta veinte segundos y detecta cualquier error.
Olvidar el «+ C», o creer que se puede integrar un producto multiplicando las integrales. No existe ninguna regla así.
∫ x·ex dx = (∫x)·(∫ex)Hay que integrar por partesNi el producto ni el cociente tienen regla directa de integración.