Se preguntan de dos formas: enunciados, y aplicados para probar que existe un punto con cierta propiedad. Los dos dicen lo mismo con distinto disfraz, y verlo así ahorra memorizar el doble.
Rolle
En llano: si una curva sale y llega a la misma altura sin romperse ni hacer picos, en algún punto tuvo que estar plana. O sube y baja, o baja y sube, pero da la vuelta en algún sitio.
El del valor medio, o de Lagrange
f′(c) = [f(b) − f(a)] : (b − a)
Con las mismas hipótesis pero sin exigir que las alturas coincidan. Dice que en algún punto la pendiente instantánea iguala a la pendiente media del tramo: si has hecho 120 km en una hora, en algún instante ibas exactamente a 120 km/h.
Rolle es el caso particular con f(a) = f(b): la pendiente media es cero, así que la instantánea también lo es en algún punto.
f(x) = x2 en [0, 2]. Hallar el c del valor medio
- Pendiente media: (4 − 0) : (2 − 0) = 2.
- f′(x) = 2x.
- Igualo: 2c = 2 → c = 1.
- Y 1 está dentro de (0, 2) ✓, como tenía que ser.
Cómo se responde en el examen
- Se comprueban las hipótesis, una a una, y se dice por qué se cumplen.
- Se plantea la ecuación del teorema.
- Se despeja c.
- Se comprueba que c cae dentro del intervalo abierto.
El paso 1 puntúa por sí solo, y el 4 detecta errores: si el c sale fuera, algo está mal.
Aplicar el teorema sin comprobar las hipótesis. Con |x| en [−1, 1] las alturas coinciden y no hay ningún punto de derivada cero: falla porque no es derivable en 0.
«Las alturas coinciden, luego hay un c con derivada cero»«Es continua y derivable y las alturas coinciden, luego…»Sin las tres condiciones, el teorema no dice nada.