Es el problema clásico de examen: la lata que gasta menos hojalata, el rectángulo de área máxima con un perímetro dado, el precio que maximiza el beneficio. Y siempre se resuelve con el mismo esquema.
El esquema
- Nombrar las variables y decir qué hay que optimizar.
- Escribir la función objetivo, que suele salir con dos variables.
- Escribir la condición del enunciado, que relaciona las dos.
- Sustituir para dejar la función con una sola variable.
- Derivar, igualar a cero y comprobar con la segunda derivada.
- Responder lo que se pregunta, con unidades.
El paso 3 es el que convierte un problema imposible —dos variables— en uno normal. Y el 6 es el que más puntos cuesta.
Con 40 m de valla, ¿qué rectángulo encierra más área?
- Variables: base x y altura y. Objetivo: maximizar A = xy.
- Condición: 2x + 2y = 40, así que y = 20 − x.
- Sustituyo: A(x) = x(20 − x) = 20x − x2.
- A′ = 20 − 2x = 0 → x = 10.
- A″ = −2 < 0: es máximo.
- Respuesta: un cuadrado de 10 × 10, con área 100 m².
Dos comprobaciones que puntúan
| Comprobación | Por qué |
|---|---|
| segunda derivada | demuestra que es máximo y no mínimo |
| que la solución tenga sentido | una longitud negativa se descarta |
Dónde se lía todo el mundo
Responder dónde está el óptimo cuando se pregunta cuánto vale. Si el enunciado pide el área máxima, la respuesta es 100 m², no x = 10.
«El área máxima es 10»«El máximo se alcanza con x = 10, y el área es 100 m²»Vuelve a leer la pregunta antes de escribir la última línea.
En una frase: se escribe la función objetivo, se usa la condición para dejar una sola variable, se deriva, se comprueba con la segunda y se responde lo que se pregunta.